唐山市海港中学高二数学15-16上学期第一次月考试题

（时间：120分钟    分值：150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（　　）

A．        B．   C．      D．

2．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（　　）

A．50                        B．40                         C．25                         D．20

3．在下列命题中，不是公理的是（　　）

A．平行于同一个平面的两个平面平行

B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

4．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（　　）

A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α

B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交

C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　）

A．2+                   B．                   C．                   D．1+

6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．1                          B．3                           C．7                           D．15

7．3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（　　）

A．                          B．                          C．                          D．

8．高为2的直三棱柱的俯视图是一个边长为2的正三角形，则这个直三棱柱的正视图的面积是（　　）

A．4                          B．2                      C．3                           D．2

9．正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中AB的中点为M，DD₁的中点为N，则异面直线B₁M与CN所成的角是（　　）

A．0°                         B．45°                       C．60°                       D．90°

10．设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（　　）

A．8                          B．7                           C．2                           D．1

11．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题

①α∥β⇒l⊥m  ②α⊥β⇒l∥m  ③l∥m⇒α⊥β  ④l⊥m⇒α⊥β

其中正确的两个命题是（　　）

A．①与②                 B．③与④                 C．②与④                 D．①与③

12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱BC，CC₁的中点，P是侧面BCC₁B₁内一点，若A₁P∥平面AEF，则线段A₁P长度的取值范围是（　　）

A．[1，]               B．[，]          C．[，]             D．[，]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是　　　　　　。　　　　

14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　　　　　。　　　　

15．在三棱锥V﹣ABC中，VB=6，AC=3，P为△VAC的重心，过点P作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线VB和AC，则截面的周长为　　　　　　。　　

16．已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为　　　　　　。　　　　　

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在正方体A₁B₁C₁D₁﹣ABCD中，E，F分别为A₁D与D₁C的中点。

（Ⅰ）证明：EF∥平面ABCD；

（Ⅱ）证明：DD₁⊥EF。

18．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=6，S₅=15。

（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{}的前n项和。

19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△CFD分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点P。

（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PEF；

（Ⅱ）求P到平面DEF的距离。

20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，=，B=A+。

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积。

21．如图，在直三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁，M，P，N分别为A₁C₁，A₁C，BC的中点．

（Ⅰ）证明平面MNP∥平面ABB₁A₁；

（Ⅱ）求A₁C与平面ABB₁A₁所成的角。

22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F为PC的三等分点。

（Ⅰ）证明：AC⊥PB；

（Ⅱ）若PD=，AD=2，∠BAD=60°，求二面角P﹣BC﹣A的大小；

（Ⅲ）在直线PB上是否存在一点G，使平面BDE∥平面AFG？说明理由。